Transitivité du parallélisme

Soient deux lignes droites $(AB)$ et $(CD)$ , chacune parallèle à une autre ligne droite $(EF)$ .

Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles entre elles.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 30

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Solution by goldfinch

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Soit une nouvelle droite coupant les trois droites de l’énoncé , $(AB)$ en $G$ , $(EF)$ en $H$ et $(CD)$ en $I$ .

Le parallélisme de $(AB)$ et $(EF)$ implique l’égalité des mesures des angles alternes-internes suivants $\bf \widehat {AGH}=\widehat {GHF}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles).

Le parallélisme de $(CD)$ et $(EF)$ implique l’égalité des mesures des angles suivants $\bf \widehat {DIH}=\widehat {GHF}$ (pour la démonstration de ce point, voir aussi le problème Quand des parallèles révèlent des angles).

Enutilisant les deux égalités précédentes, nous en déduisons une nouvelle égalité des mesures des angles : $\bf \widehat {AGH}=\widehat {DIH}$ .

Ces deux angles sont alternes-internes pour $(AB)$ et $(CD)$ , donc les deux droites sont parallèles (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des angles alternes-internes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.

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