Transitivité du parallélisme

Soient deux lignes droites $(AB)$ et $(CD)$ , chacune parallèle à une autre ligne droite $(EF)$ .

Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles entre elles.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 30

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Solution by goldfinch

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Soit une nouvelle droite coupant les trois droites de l’énoncé , $(AB)$ en $G$ , $(EF)$ en $H$ et $(CD)$ en $I$ .

Le parallélisme de $(AB)$ et $(EF)$ implique l’égalité des mesures des angles alternes suivants $\bf \widehat {AGH}=\widehat {GHF}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des parallèles aux angles).

Le parallélisme de $(CD)$ et $(EF)$ implique l’égalité des mesures des angles suivants $\bf \widehat {DIH}=\widehat {GHF}$ (pour la démonstration de ce point, voir aussi le problème Des parallèles aux angles).

Enutilisant les deux égalités précédentes, nous en déduisons une nouvelle égalité des mesures des angles : $\bf \widehat {AGH}=\widehat {DIH}$ .

Ces deux angles sont alternes pour $(AB)$ et $(CD)$ , donc les deux droites sont parallèles (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des angles alternes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.

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