Transitivité du parallélisme

Soit une nouvelle droite coupant les trois droites de l’énoncé , $(AB)$ en $G$, $(EF)$ en $H$ et $(CD)$ en $I$.

Le parallélisme de $(AB)$ et $(EF)$ implique l’égalité des mesures des angles alternes suivants $\bf \widehat {AGH}=\widehat {GHF}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des parallèles aux angles).

Le parallélisme de $(CD)$ et $(EF)$ implique l’égalité des mesures des angles suivants $\bf \widehat {DIH}=\widehat {GHF}$ (pour la démonstration de ce point, voir aussi le problème Des parallèles aux angles).

Enutilisant les deux égalités précédentes, nous en déduisons une nouvelle égalité des mesures des angles : $\bf \widehat {AGH}=\widehat {DIH}$.

Ces deux angles sont alternes pour $(AB)$ et $(CD)$, donc les deux droites sont parallèles (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des angles alternes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.