Transposée d'un produit, d'une puissance, d'une inverse

$\textbf{1) Transposée d'un produit :}$ Soient $A \in \mathcal{M}_{m,p}(\R)$ et $B \in \mathcal{M}_{p,n}(\R)$ . Montrer que $(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$

$\textbf{2) Transposée d'une puissance :}$ Soient $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $p \in \N$ . Montrer que $(A^{p})^{T} = (A^{T})^{p}$

$\textbf{3) Transposée d'une inverse :}$ Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ inversible. Montrer que $A^{T}$ est inversible et $(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}$ $\newline$

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Solution by darktoaster

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Question 1

Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
$\newline$
$[(AB)^{T}]_{i,j} = [AB]_{j,i} = \sum\limits_{k = 1}^p [A]_{j,k} [B]_{k,i} = \sum\limits_{k = 1}^p [A^{T}]_{k,j} [B ^{T}]_{i,k} = \sum\limits_{k = 1}^p [B ^{T}]_{i,k} [A^{T}]_{k,j} = [B^T A^T]_{i,j}$
$\newline$
Par égalité des coefficients, on déduit que : $(AB)^{T} = B^{T} A^{T}$

Question 2

On applique le résultat sur les produits
$(A^{p})^{T} = (A \cdots A)^{T} = A^{T} \cdots A^{T} = (A^{T})^{p}$

On peut démontrer plus rigoureusement ce résultat par récurrence.

Question 3

Comme $A$ est inversible, en notant $A^{-1}$ son inverse : $A A^{-1} = A^{-1}A= I_{n}$

En passant à la transposée, en se servant de la propriété sur les produits et en utilisant le fait que $I_{n}^{T} = I_{n}$ car la matrice identité est diagonale.
: $(A^{-1})^{T} A^{T} = A^{T} (A^{-1})^T = (I_{n})^T = I_{n}$

$A^{T}$ est également inversible d’inverse $(A^{-1})^{T}$ . On écrit alors $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^T$

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