Un carré dans un carré

Dans le plan $\mathbb R^2$, on considère les deux normes :
$$\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2} \qquad\text{et}\qquad \|(x,y)\|_\infty=\max(|x|,|y|).$$On note respectivement les boules fermées :
$$\overline{B}_2(0,r) = \{(x,y)\in\mathbb R^2:\|(x,y)\|_2<r\}$$et
$$\overline{B}_\infty(0,r) = \{(x,y)\in\mathbb R^2:\|(x,y)\|_\infty<r\}.$$

1. Représenter géométriquement les ensembles $\overline{B}_2(0,r)$ et $\overline{B}_\infty(0,r)$.

2. Montrer que $\overline{B}_\infty(0,r)$ est un carré et déterminer la longueur de son côté. En déduire l’aire de $\overline{B}_\infty(0,r)$.

3. Déterminer le carré $C$ d’aire maximale contenue dans $\overline{B}_2(0,r)$.

4. Calculer l’aire du carré $C$. Quel carré est le plus grand entre $C$ et $\overline{B}_\infty(0,r)$?