Un raisonnement sur la compacité

Le raisonnement suivant est-il correct ?

« L’intervalle $[0,1]$ est compact. En effet, on peut écrire :
$[0,1] = \left[0, \tfrac{2}{3}\right) \cup \left(\tfrac{1}{2}, 1\right]$ et ces deux intervalles, $\left[0, \tfrac{2}{3}\right)$ et $\left(\tfrac{1}{2}, 1\right]$ , sont ouverts dans $[0,1]$ . Cela montre que $[0,1]$ peut être écrit comme une union finie de sous-ensembles ouverts. »

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Catalpa@catalpa

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Solution by Sequoia · translated by Catalpa

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Il est vrai que les intervalles $[0,\frac{2}{3})$ et $(\frac12,1]$ sont ouverts dans $[0,1]$ , cependant, ce n’est pas la définition de la compacité.

En effet, il faut considérer un recouvrement arbitraire de l’ensemble voulu, et ensuite déduire qu’il existe toujours un sous-recouvrement fini de notre ensemble. Ce n’est pas ce que nous avons fait ici, puisque nous choisissons déjà un recouvrement spécifique de notre ensemble $[0,1]$ .

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