Un rectangle découpé en rectangles

Soient deux segments $[AB]$ et $[CD]$ et deux points quelconques $E$ et $F$ appartenant à $[CD]$ .

Montrer que l’aire du rectangle construit à partir des segments $[AB]$ et $[CD]$ est égale à la somme des aires des trois rectangles construits à partir des segments $[AB]$ et $[CE]$ , $[AB]$ et $[EF]$ , $[AB]$ et $[FD]$ .
En posant $AB=a$ , $CD=b$ , $CE=c$ , $EF=d$ et $FD=e$ , écrire l‘identité algébrique correspondant à la relation géométrique démontrée en 1, et qualifier cette propriété algébrique.

NB.

Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$ , désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.
La seconde question fait référence à une interprétation « moderne », algébrique, de cette proposition des Eléments d’Euclide qui, à l’origine, était exprimée de façon purement géométrique.

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Euclide — Éléments

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Livre 2 - Proposition 1

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Solution by goldfinch

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Construire la droite perpendiculaire à $(CD)$ passant par $C$ et positionner le point $G$ tel que $CG=AB$ (pour cette construction, voir le problème Construction géométrique d’une droite perpendiculaire à une autre droite (1)).

Construire ensuite les points $H$ , $I$ et $J$ situés à l’intersection de la parallèle à $(CD)$ passant par $G$ et des trois parallèles à $(CG)$ passant respectivement par $D$ , $E$ et $F$ (pour la construction de ces parallèles, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Le rectangle $CDHG$ est ainsi bien construit sur les deux segments $[CD]$ et $[AB]$ vu que $CG=AB$ par hypothèse.

De même les rectangles $CEIG$ , $EFJI$ et $FDHJ$ sont construits respectivement sur les segments $[CE]$ et $[AB]$ , $[EF]$ et $[AB]$ , $[FD]$ et $[AB]$ , car $CG=EI=FJ=DH=AB$ .

L’aire du rectangle $CDHG$ est bien constituée des trois aires des rectangles $CEIG$ , $EFJI$ et $FDHJ$ , soit :
$\bf [CDHG]=[CEIG]+[EFJI]+ [FDHJ]$ (1) , ce qu’il fallait démontrer.

La relation (1) exprimée avec les notations proposées dans l’énoncé donne :

$\bf a\times {b}= a\times {(c+d+e)}= a\times {c}+ a\times {d}+ a\times {e}$ (2)

Il s’agit de la propriété algébrique de $\textbf {distributivité de la multiplication par rapport à l’addition}$ .

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