Un rectangle découpé en rectangles

1. Construire la droite perpendiculaire à $(CD)$ passant par $C$ et positionner le point $G$ tel que $CG=AB$ (pour cette construction, voir le problème Construction géométrique d’une droite perpendiculaire à une autre droite (1)).

Construire ensuite les points $H$, $I$ et $J$ situés à l’intersection de la parallèle à $(CD)$ passant par $G$ et des trois parallèles à $(CG)$ passant respectivement par $D$, $E$ et $F$ (pour la construction de ces parallèles, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Le rectangle $CDHG$ est ainsi bien construit sur les deux segments $[CD]$ et $[AB]$ vu que $CG=AB$ par hypothèse.

De même les rectangles $CEIG$, $EFJI$ et $FDHJ$ sont construits respectivement sur les segments $[CE]$ et $[AB]$ , $[EF]$ et $[AB]$ , $[FD]$ et $[AB]$, car $CG=EI=FJ=DH=AB$.

L’aire du rectangle $CDHG$ est bien constituée des trois aires des rectangles $CEIG$, $EFJI$ et $FDHJ$ , soit :
$\bf [CDHG]=[CEIG]+[EFJI]+ [FDHJ]$ (1) , ce qu’il fallait démontrer.

2. La relation (1) exprimée avec les notations proposées dans l’énoncé donne :

$\bf a\times {b}= a\times {(c+d+e)}= a\times {c}+ a\times {d}+ a\times {e}$ (2)

Il s’agit de la propriété algébrique de $\textbf {distributivité de la multiplication par rapport à l’addition}$ .