Un système cyclique de congruences

Trouve tous les triplets $(a,b,c)$ d’entiers strictement positifs tels que les congruences modulo n suivantes sont vérifiées :
$\left\{\begin{array}{l} a \equiv b \pmod{c} \\ b \equiv c \pmod{a} \\ c \equiv a \pmod{b} \end{array}\right.$ où $a,b,c$ sont des entiers strictement positifs.

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Catalpa@catalpa

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Solution by Sequoia · translated by Catalpa

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Puisque le problème est symétrique pour toute permutation des variables $a,b,c$ , nous pouvons considérer sans perte de généralité que $0< c\leqslant b\leqslant a$ .
Ensuite, la deuxième équation du système peut être écrite comme suit :
$\exists k\geqslant0/ b=c+ka$ où $k$ est positif puisque $b\geqslant c$ et $a$ sont des entiers strictement positifs.

Maintenant, on considère que $k\geqslant 1$ , et on obtient $b=c+ka\geqslant c+a>a$ mais c’est absurde puisque $a\geqslant b$ . Ainsi $l=0$ et $b=c$ .

Puis la troisième (et dernière) congruence peut être réécrite comme $b\mid a$ .

Réciproquement, tout triplet de la forme $(bd, b, b)$ avec $d,b$ des entiers strictement positifs, est une solution de ce système.

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