Une distribution ratée au tarot

Notons $n$ le nombre initial de joueurs, et $k$ le nombre de cartes de chaque joueur, sauf le dernier, qui en a seulement $k-2$.
On a donc :
$$78=(n-1)k+k-2=nk-2$$Et donc $nk=80$.
Notons que les cartes ont été distribuées quatre par quatre, donc le nombre de cartes de chaque joueur (sauf le dernier...) est un multiple de 4 :
$$k=4t$$(où, au passage, $t$ est le nombre de tours de distribution).
On obtient ainsi que
$$4nt=80,\quad\text{d'où}\quad nt=20.$$

Cela ne laisse que les possibilités suivantes :

• $n=20$, $t=1$
• $n=1$, $t=20$ (exclu, car il y a plusieurs joueurs)
• $n=10$, $t=2$
• $n=2$, $t=10$ (exclu, car l’énoncé précise qu’après le départ du joueur, il reste plusieurs joueurs).
• $n=5$, $t=4$
• $n=4$, $t=5$.

Il reste une condition à considérer : comme les $n-1$ joueurs restants se partagent équitablement toutes les cartes du joueur parti, cela implique que
$$n-1\;\text{divise}\;k-2=4t-2$$

Mais en essayant avec les 4 possibilités restantes, seule l’une d’elle est compatible avec cette condition.
En effet :

• $n=20$, $t=1$ est impossible, puisque $20-1=19$ ne divise pas $4\times 1-2=2$.
• $n=10$, $t=2$ est impossible, puisque $10-1=9$ ne divise pas $4\times 2-2=6$.
• $n=5$, $t=4$ est impossible, puisque $5-1=4$ ne divise pas $4\times 4-2=14$.
• $n=4$, $t=5$ est possible, puisque $4-1=3$ divise bien $4\times 5-2=18$.

Il ne pouvait donc qu’y avoir $n=4$ joueurs initialement ; et donc il n’en reste que 3.