Une fonction de transition sur le cercle

On considère le cercle unité $S^{1}=\{(x,y)\in \R^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$ , et deux cartes locales :
$U=\{(x,y)\in S^{{1}}\mid y>0\}\quad \text{avec} \quad \varphi:U \to ]-1,1[\:\:\:\text{défini comme } \varphi(x,y)=x$ $V=\{(x,y)\in S^{{1}}\mid x>0\}\quad \text{avec} \quad \psi:V \to ]-1,1[\:\:\:\text{défini comme } \psi(x,y)=y$

Déterminer l’intersection de $U$ et $V$ .
Déterminer $\varphi(U\cap V)$ et $\psi(U\cap V)$ .
Déterminer la fonction de transition $\psi\circ \varphi^{-1}$ entre ces deux cartes locales.

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Solution by Ancient Tree

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$U\cap V=\{(x,y)\in S^{1}\mid x>0 \: \text{ et }\: y>0\}$ : c’est le quart de cercle supérieur droit.
$\varphi(U\cap V)=]0,1[$ et $\psi(U\cap V)=]0,1[$ .
L’inverse de $\varphi$ est donnée par $\varphi^{-1}(x)=\left(x,\sqrt{1-x^{2}}\right)$ . D’où en composant, la fonction de transition est la fonction
$\psi\circ\varphi^{-1}\colon]0,1[\to ]0,1[$ définie comme $\psi\circ \varphi^{-1}(x)=\psi\left(x,\sqrt{1-x^{2}}\right)=\sqrt{1-x^{2}}$ .

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