je propose une solution un peu à la Fonzie (https://www.youtube.com/watch?v=o4isQUdVknE ) :
d’abord en utisant Stirling :
∑ k = 1 + ∞ ( x k ) k ∼ ∑ k = 1 + ∞ x k e − k 2 π k k ! \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{x}{k})^{k}\sim\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}e^{-k}\sqrt{2\pi k}}{k!} k = 1 ∑ + ∞ ( k x ) k ∼ k = 1 ∑ + ∞ k ! x k e − k 2 π k
puis en utilisant quelques propriétés de la fonction Γ \Gamma Γ
k ( k − 1 2 ) ! ∼ k ! \sqrt{k}(k-\frac{1}{2})!\sim k! k ( k − 2 1 )! ∼ k ! ( k − 1 2 ) ! k ! = 2 k ! π 2 2 k \displaystyle (k-\frac{1}{2})!k!= \frac{2k!\sqrt{\pi}}{2^{2k}} ( k − 2 1 )! k ! = 2 2 k 2 k ! π
on obtient :
∑ k = 1 + ∞ ( x k ) k ∼ ∑ k = 1 + ∞ x k e − k 2 π k k ! ∼ 2 ∑ k = 1 + ∞ 2 2 k x k e − k k ! 2 k ! \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{x}{k})^{k}\sim\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}e^{-k}\sqrt{2\pi k}}{k!}\sim\sqrt{2}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2^{2k}x^{k}e^{-k}k!}{2k!} k = 1 ∑ + ∞ ( k x ) k ∼ k = 1 ∑ + ∞ k ! x k e − k 2 π k ∼ 2 k = 1 ∑ + ∞ 2 k ! 2 2 k x k e − k k !
puis en utilisant une autre équivalence (cf Quelques équivalences plaisantes et délectables )
∑ k = 1 + ∞ ( x k ) k ∼ ∑ k = 1 + ∞ x k e − k 2 π k k ! ∼ 2 ∑ k = 1 + ∞ 2 2 k x k e − k k ! 2 k ! ∼ 2 π x e exp ( x e ) \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{x}{k})^{k}\sim\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}e^{-k}\sqrt{2\pi k}}{k!}\sim\sqrt{2}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2^{2k}x^{k}e^{-k}k!}{2k!}\sim\sqrt{\frac{2\pi x}{e}}\displaystyle\exp(\frac{x}{e}) k = 1 ∑ + ∞ ( k x ) k ∼ k = 1 ∑ + ∞ k ! x k e − k 2 π k ∼ 2 k = 1 ∑ + ∞ 2 k ! 2 2 k x k e − k k ! ∼ e 2 π x exp ( e x )
la limite est donc
exp ( 1 e ) \displaystyle\exp(\frac{1}{e}) exp ( e 1 )
