Une propriété de la somme de deux angles d’un triangle

Montrer que dans un triangle, la somme des mesures de deux angles pris de façon quelconque dans le triangle est inférieure à la somme des mesures de deux angles droits.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 17

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Solution by goldfinch

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Traitons par exemple le cas de la somme des mesures des angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {ACB}$ .

Pour ceci, positionnons un point D sur la droite (BC). Nous pouvons montrer que l’angle extérieur au triangle, $\widehat {ACD}$ , est plus grand que l’angle $\widehat {ABC}$ (pour la démonstration de ce point voir le problème Relation entre les angles intérieurs et extérieurs d’un triangle) : $\widehat {ACD}>\widehat {ABC}$ (1)

Par ailleurs, la somme des angles adjacents et supplémentaires $\widehat {ACD}$ et $\widehat {ACB}$ est égale à la somme de deux angles droits (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des angles adjacents et supplémentaires). Ceci, couplé avec (1), nous permet de conclure que la somme des angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {ACB}$ est inférieure à la somme de deux angles droits, ce qu’il fallait démontrer.

Le même raisonnement peut être effectué avec n’importe quelle paire d’angles du triangle.

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