Une somme en vaut une autre

Le critère de d’Alembert montre que le rayon de convergence est $+\infty.$ La fonction $f\colon x\in\mathbb{R}\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{\prod\limits_{k=0}^n(2k+1)}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ en tant que somme d’une série entière et on a
$$f'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n}}{\prod\limits_{k=0}^{n-1}(2k+1)} =1+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n}}{\prod\limits_{k=0}^{n-1}(2k+1)} =1+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\prod\limits_{k=0}^n (2k+1)}1+xf(x).$$La fonction $f$ est donc solution du problème de Cauchy $\left\{\begin{array}{rl}y'-xy&=1\\y(0)&=0\end{array}\right..$ Les solutions de l’équation homogène sont de la forme $y_h(x)=\lambda e^{x^2/2}$ et on trouve une solution particulière en appliquant la méthode de variation de la constante c’est à dire en cherchant une solution particulière sous la forme $y_0(x)=\lambda(x)e^{x^2/2}.$ En réinjectant une telle solution dans l’équation on trouve $\lambda'(x)=e^{-x^2/2}$ de telle sorte que $y_0(x)=\displaystyle e^{x^2/2}\int_0^x e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t$. Puisque la solution particulière est solution du problème de Cauchy, on a $\forall x\in\mathbb{R},f(x)=\displaystyle e^{x^2/2}\int_0^x e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t$ donc, en évaluant en $x=1$ on a
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{\prod\limits_{k=0}^n(2k+1)} =\sqrt{e}\int_0^1 e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t =\sqrt{e}\int_0^1\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{-t^2}{2}\right)^n\,\mathrm{d}t =\sqrt{e}\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!2^n}\int_0^1 t^{2n}\,\mathrm{d}t =\sqrt{e}\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!2^n(2n+1)}.$$L’échange série-intégrale étant justifiée au choix par la convergence de $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1\left|\dfrac{(-1)^nt^{2n}}{n!2^n}\right|\,\mathrm{d}t=\int_0^1 e^{t^2/2}\,\mathrm{d}t$ (théorème de Fubini) ou alors par la domination de la série (qui est alternée) par son premier terme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{-t^2}{2}\right)^n\leq 1$ puis par l’application du théorème de convergence dominée de Lebesgue.