Théorème de Fubini

Intuition

Le théorème de Fubini permet d’intégrer une fonction de plusieurs variables en procédant une variable après l’autre.

Sous de bonnes hypothèses, il garantit surtout que l’ordre d’intégration n’a pas d’importance :
$$\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,dy\right)dx = \int_Y\left(\int_X f(x,y)\,dx\right)dy.$$

Autrement dit, on peut calculer une intégrale double en intégrant successivement dans l’ordre qui nous arrange le plus.

Enoncé

Soient $(X,\mathcal{A},\mu)$ et $(Y,\mathcal{B},\nu)$ deux espaces mesurés $\sigma$-finis, et
$$f:X\times Y\longrightarrow\mathbb{R}$$une fonction mesurable par rapport à la tribu produit $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$.

Si $f$ est intégrable par rapport à la mesure produit $\mu\otimes\nu$, c’est-à-dire si
$$\int_{X\times Y} |f(x,y)|\,d(\mu\otimes\nu)(x,y)<+\infty,$$alors :

1. pour $\mu$-presque tout $x\in X$, la fonction $y\mapsto f(x,y)$ est $\nu$-intégrable ;
2. pour $\nu$-presque tout $y\in Y$, la fonction $x\mapsto f(x,y)$ est $\mu$-intégrable ;
3. les fonctions
   $$x\mapsto \int_Y f(x,y)\,d\nu(y) \qquad\text{et}\qquad y\mapsto \int_X f(x,y)\,d\mu(x)$$sont respectivement $\mu$-intégrable et $\nu$-intégrable ;
4. on a
   $$\int_{X\times Y} f(x,y)\,d(\mu\otimes\nu)(x,y) = \int_X\left(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) = \int_Y\left(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y).$$