Fonction mesurable

Intuition

La notion de fonction mesurable apparaît naturellement avec la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue.
Pour intégrer une fonction $f$, on veut pouvoir étudier des ensembles de la forme
$$\{x \mid f(x)\in B\},$$où $B$ est un ensemble de valeurs que l’on sait mesurer.
Il faut donc s’assurer que ces ensembles puissent eux-mêmes être mesurés.

Définition formelle

Soient $(X,\mathcal{A})$ et $(Y,\mathcal{B})$ deux espaces mesurables.

Une fonction
$$f:X\longrightarrow Y$$est dite mesurable si, pour tout $B\in\mathcal{B}$,
$$f^{-1}(B)\in\mathcal{A}.$$