Fonction mesurable

Showing the Français version because no English translation exists yet. Add that translation.

Also known as: Application mesurable

Intuition

La notion de fonction mesurable apparaît naturellement avec la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue.
Pour intégrer une fonction $f$ , on veut pouvoir étudier des ensembles de la forme
$\{x \mid f(x)\in B\},$ où $B$ est un ensemble de valeurs que l’on sait mesurer.
Il faut donc s’assurer que ces ensembles puissent eux-mêmes être mesurés.

Définition formelle

Soient $(X,\mathcal{A})$ et $(Y,\mathcal{B})$ deux espaces mesurables.

Une fonction
$f:X\longrightarrow Y$ est dite mesurable si, pour tout $B\in\mathcal{B}$ ,
$f^{-1}(B)\in\mathcal{A}.$

Practice this concept with exercises

1 / 2

1. Soit $(E,\mathcal T)$ un espace mesurable. Montrer que l’identité $\operatorname{Id}_E:E\to E$ est mesurable.
2. Soit $(X,\mathcal A)$ un espace mesurable et $A \in \mathcal A$ .
  La fonction indicatrice de $A$ est-elle mesurable ?
3. Soit $(E_{1},\mathcal T_{1}),\, (E_{2}, \mathcal T_{2})$ deux espaces mesurables. Soit $f : E_{1} \mapsto E_{2}$ et $g: E_{2} \mapsto E_{1}$ , deux applications mesurables.
  L’application $f\circ g$ est-elle mesurable ?
Open exercise

Problems using this concept (0)

No listed problems link to this concept yet.

Problems using this concept (spoiler) (0)

No listed problems use this concept as a spoiler yet.