Une version simplifiée du théorème de Pythagore

Quand j’étais au collège et qu’on étudiait le théorème de Pythagore^EN, je suis tombé sur le triangle rectangle^EN suivant :

J’ai essayé de deviner une relation entre l'hypoténuse^EN et les deux autres côtés du triangle (le petit côté et le côté moyen) j’ai remarqué que $5=4+\frac{1}{3}\times 3$ .

J’ai ainsi émis la conjecture^EN suivante : l’hypothénuse est égale à la longueur du côté moyen plus un tiers du petit côté.

Est-ce vrai pour tous les triangles rectangles ?
Peut-on trouver tous les triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont des entiers et pour lesquels la relation est valable ?

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Sequoia@sequoia

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Solution by SarahK(roche:)

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Contrex: $(5,12,13)$
On a le système suivant avec $a\le b\le c$ :

$\left\{a^2+b^2=c^2 \atop a/3+b=c \right.$

on obtient aisément que $3b=4a$ et donc que les seules solutions entières possibles sont multiples du triplet
$(3,4,5)$ , réciproquement ces triplets sont solutions, ce qui clôt.

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