A simpler Pythagorean theorem

1. Soit le triangle de côtés de longueur $1$, $1$ et $\sqrt{2}$. On a $1^2+1^2=2=(\sqrt{2})^2$ donc il s’agit bien d’un triangle rectangle. Testons la conjecture sur ce triangle, dont l’hypothènuse est donc de longueur $\sqrt{2}$ : avons-nous que $\sqrt{2}=1+\frac{1}{3}\times1$, c’est-à-dire que $\sqrt{2}=\frac{4}{3}$ ?

   Si oui, alors la relation est également vraie en élevant les deux côtés au carré. Or $(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}\neq2$.

   Conclusion : la conjecture est invalidée par ce contre-exemple.

2. Soient $a$ le petit côté, $b$ le côté moyen et enfin $c$ l’hypothénuse d’un triangle rectangle vérifiant la conjecture. On a le système suivant avec $0<a\leqslant b< c$ (on exclut le cas d’un triangle dégénéré de côté nul) :

$$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\text{ (Pythagore)} \\ a/3+b=c \text{ (conjecture)}\end{cases}$$On a alors :

$$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\text{ (Pythagore)} \\ a/3+b=c \text{ (conjecture)}\end{cases}\implies\begin{cases}a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{9}+\frac{2}{3}ab+b^2=c^2 \text{ (mise au carré)}\end{cases}$$$$\implies \begin{cases}a^2+b^2=c^2 \\ a^2=\frac{a^2}{9}+\frac{2}{3}ab \text{ (identité avec }c^2-b^2)\end{cases}$$Or $a^2=\frac{a^2}{9}+\frac{2}{3}ab\iff 9a^2=a^2+6ab\iff 8a^2=6ab$, et finalement en divisant par $2a$ des deux côtés (la division est valide car $a$ est non nul par hypothèse) on aboutit à $4a=3b$.
Les plus petits entiers non nuls $a$ et $b$ vérifiant cette relation sont $a=3$ et $b=4$. Et l’on a alors que $c=\frac{a}{3}+b=\frac{3}{3}+4=1+4=5$.

Soit $a$ un entier qui correspond au petit côté d’un triangle vérifiant la conjecture. De la relation $4a=3b$ on tire que $b=\dfrac{4}{3}a$, et de $c=\dfrac{a}{3}+b$ (la conjecture), on tire que $c=\dfrac{a}{3}+\dfrac{4a}{3}=\dfrac{5a}{3}$.

On obtient alors que les côtés $(a,b,c)$ des triangles vérifiant la conjecture sont les triplets $(a,\dfrac{4a}{3},\dfrac{5a}{3})$, avec $a$ réel strictement positif.

Mais nous cherchons $a$, $b$ et $c$ entiers. Pour que $b$ et $c$ soient entiers, $a$ étant un entier, $a$ doit être un multiple de 3. En effet, si $a$ n’est pas un multiple de 3, $4a$ et $5a$ ne sont pas multiples de 3 et alors $\dfrac{4a}{3}$ et $\dfrac{5a}{3}$ ne sont pas entiers.

Comme nous avons établi que $a$ doit être multiple de 3, posons $a=3k$, avec $k\in\N^*$. Alors $b=4k$ et $c=5k$.
Au final si $(a,b,c)$ est un triplet vérifiant la conjecture, il est nécessairement de la forme $(3k,4k,5k)$ avec $k$ entier non nul.

Réciproquement, si un triangle a pour côtés respectivement $3k$, $4k$ et $5k$, avec $k$ entier non nul, on a $\frac{1}{3}\times3k+4k=5k$ donc les côtés du triangle vérifient la relation et $(3k)^2+(4k)^2=9k^2-16k^2=25k^2=(5k)^2$ donc le triangle est rectangle.

Conclusion :

Tous les triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont des entiers et vérifiant la conjecture sont ceux dont les côtés sont de la forme $3k$, $4k$ et $5k$, avec $k$ entier non nul.