Anneau factoriel

Intuition

Un anneau factoriel est un anneau dans lequel les éléments peuvent se décomposer en produit d'éléments irréductibles, et où cette décomposition est essentiellement unique.

C’est l’analogue, dans un anneau quelconque, de la décomposition des entiers en facteurs premiers.

Définition formelle

Un anneau intègre $A$ est dit factoriel si tout élément $a\in A$ non nul et non inversible peut s’écrire sous la forme
$$a=p_1\cdots p_n,$$où les $p_i$ sont des éléments irréductibles de $A$, et si cette décomposition est unique à permutation et à multiplication par des éléments inversibles près.