Elément irréductible

Intuition

Un élément irréductible est un élément qui ne peut pas être décomposé en produit de deux éléments non inversibles.

Par exemple, dans $\mathbb{Z}$, les éléments irréductibles sont exactement les nombres premiers et leurs opposés.

Définition formelle

Soit $A$ un anneau intègre. Un élément $p\in A$ est dit irréductible si :

• $p\neq 0$ ;
• $p$ n’est pas inversible ;
• pour tous $a,b\in A$, si
  $$p=ab,$$alors $a$ ou $b$ est inversible.