Application bijective

Définition intuitive

Une bijection permet, dans une logique ensembliste, d’affirmer que deux ensembles possèdent le « même nombre d’éléments ».

Définition formelle

Une bijection, ou application bijective, est une application à la fois injective et surjective.
En particulier, pour deux ensembles $A$ et $B$, l’application $f\colon A\to B$ est bijective si, et seulement si, elle vérifie:
$$\forall y\in B, \exists! x\in A/ y=f(x),$$où $\exists!x$ signifie qu’il existe un unique $x$. Autrement dit, tout élément de l’ensemble d’arrivée $B$ possède un unique antécédent dans l’ensemble de départ $A$.
Dans ce cas, on dit que $A$ et $B$ sont équipotents, ou encore en bijection.

Exemples

$\bullet$ Quitte à changer $1$ en $2$ et $3$ en $4$, les ensembles $\{1,3\}$ et $\{2,4\}$ sont en bijection.
$\bullet$ Si $f\colon A\to B$ est injective, alors la restriction $f\colon A\to f(A)$ où $f(A)=\{f(x), x\in A\}$ est l’image de $A$ par $f$, est une bijection. C’est la manière naturelle de construire une bijection à partir d’une injection.
$\bullet$ Plus difficile: Si $f\colon A\to B$ est surjective, alors la propriété universelle issue de la relation d’équivalence sur $A$ : $x\sim y\,\Longleftrightarrow f(x)=f(y)$ permet de définir une application quotient $\tilde{f}\colon A/\!\!\sim \,\,\longrightarrow B$ de manière naturelle à partir de $f$ et qui est bijective.