Application identité

Définition intuitive

Dans un ensemble $E$ quelconque, l’application identité dans cet ensemble, c’est l’application qui laisse inchangés tous les éléments de $E$.

Définition formelle

Soit $E$ un ensemble. On note $\mathrm{id}_{|E}$ l’application identité sur $E$ qui est définie par $\mathrm{id}_{|E}(x) =x$ pour tout $x \in E$. Le graphe de $\mathrm{id}_{|E}$ la diagonale du produit cartésien $E \times E$.

Propriétés

• Si $E$, $F$ sont deux ensembles, et $f : E \longrightarrow F$ est une application, alors $f \circ id_{|E} = id_{|F} \circ f = f$.

• Un ensemble est caractérisé par son identité, précisément, $id_{|E} = id_{|F}$ entraine $E = F$.

Exemples

• Dans $\mathbb{R}$, le graphe de l’application identité est la première bissectrice du plan euclidien.