Convergence normale

Intuition

Une série de fonctions $\sum\limits f_{n}(x)$ converge normalement si on peut borner la taille de chaque terme $f_{n}(x)$ de manière indépendante de $x$, par les termes d’une série numérique convergente.
La convergence normale est particulièrement utile car elle implique, sous les bonnes hypothèses, la convergence uniforme de la série, tout en étant plus commode à vérifier.

Définition formelle

Soit $A$ un ensemble et $E$ un espace vectoriel normé. On considère $(f_{n})_{n\geqslant 0}$ une suite de fonctions de $A$ dans $E$.
On dit que la série de fonctions $\sum\limits f_{n}$ converge normalement si
$$\sum_{n\geqslant 0}\sup_{x\in A}\|f_{n}(x)\|<+\infty.$$