Ensemble

Définition

Un ensemble est une collection d’objets non ordonnés, appelés ses éléments.
Un ensemble est complètement défini par ses éléments. Ainsi, deux ensembles ayant les mêmes éléments sont identiques.

Notations

Si un objet $x$ appartient à un ensemble $E$, on écrit $x\in E$. Sinon, on écrit $x\notin E$.

On peut décrire exhaustivement un ensemble $E$ en notant ses éléments entre crochets :
$$E=\{e_{1}, e_{2}, ...\}.$$Comme l’ordre ne compte pas dans un ensemble, on peut écrire les éléments dans l’ordre que l’on veut et l’on peut aussi les écrire plusieurs fois, cela ne change pas l’ensemble.

Exemples

• $E=\{1,2,3\}$ est l’ensemble contenant les nombres $1,2$ et $3$. On peut alors écrire que $1 \in E$ mais que $5 \notin E$. On peut aussi écrire $E = \{2, 3, 1\} = \{3, 2, 1, 3, 2\}$.
• Parmi des ensembles très couramment utilisés en mathématiques, on peut notamment citer l’ensemble des entiers naturels $\N=\{0,1,2,\ldots\}$ et l’ensemble des réels $\R$.