Espace topologique

Intuition

Un espace topologique est un ensemble sur lequel existe une notion de proximité et de continuité, sans avoir besoin de mesurer précisément des distances. De très nombreux ensembles connus sont des espaces topologiques.

Voici une collection d’espaces topologiques emblématiques. En haut : un cercle, une sphère et un tore. En bas, un ruban de Möbius, une bouteille de Klein, et un graphe.

La topologie désigne certaines parties de l’espace comme des voisinages de points, appelés les ouverts.
Les axiomes suivants précisent comment ces ouverts se combinent : toute union d’ouverts est ouverte, de même que toute intersection finie.

Définition formelle

Un espace topologique est un ensemble $X$ muni d’une topologie $\tau$, c’est-à-dire, d’une collection de parties de $X$ appelées les ouverts, vérifiant les axiomes suivants :

1. L'ensemble vide et l’espace entier sont ouverts : $\emptyset\in \tau$ et $X\in \tau$.
2. Une union arbitraire d’ouverts est ouverte : si $\{O_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d’ensembles de $\tau$, alors $\bigcup_{i \in I} O_i \in \tau$.
3. Une intersection finie d’ouverts est ouverte: si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.