Idéal

Définition intuitive

Un idéal est à un anneau ce qu’un sous-groupe distingué est à un groupe : la partie par laquelle on peut quotienter. L’idée de départ est celle de « multiples ». Dans $\mathbb{Z}$, l’ensemble $n\mathbb{Z}$ est stable par addition, et surtout absorbant : multiplier un multiple de $n$ par n’importe quel entier redonne un multiple de $n$. Cette propriété d’absorption est exactement ce qui permet de définir une structure d’anneau sur le quotient, et donc de « travailler modulo » $n$ dans $\mathbb{Z}$, modulo un polynôme dans $K[X]$.

Définition formelle

Soit $A$ un anneau (unitaire, non nécessairement commutatif). Une partie $I\subseteq A$ est :

• un idéal à gauche si :
  $$I \text{ est un sous-groupe additif de } A, \text{et} \quad \forall a\in A,\ \forall x\in I,\quad ax\in I,$$
• un idéal à droite si :
  $$I \text{ est un sous-groupe additif de } A, \text{et} \quad \forall a\in A,\ \forall x\in I,\quad xa\in I,$$
• un idéal bilatère si :
  $$I \text{ est un sous-groupe additif de } A, \text{et} \quad \forall a,b\in A,\ \forall x\in I,\quad axb\in I .$$

Cas commutatif. Si $A$ est commutatif, les trois notions coïncident et l’on dit simplement idéal : $I$ est un sous-groupe additif vérifiant $AI\subseteq I$.

Propriété fondamentale. Si $I$ est un idéal bilatère de $A$, le groupe quotient $A/I$ hérite d’une structure d’anneau par $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}$, qui est bien définie précisément grâce à l’absorption des deux côtés. Réciproquement, les idéaux bilatères de $A$ sont exactement les noyaux de morphismes d’anneaux issus de $A$.

Remarques

• Ce n’est pas un sous-anneau. Un idéal contient $1$ si et seulement s’il est $A$ tout entier, puisque $1\in I$ entraîne $a=a\cdot 1\in I$ pour tout $a$. Un idéal propre ne contient donc aucun élément inversible. En particulier, un anneau est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont $\{0\}$ et lui-même.
• Contre-exemple à une confusion fréquente. Un idéal n’est pas la même chose qu’un sous-anneau : $\mathbb{Z}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ mais n’en est pas un idéal (car $\frac12\cdot 1\notin\mathbb{Z}$), tandis que $2\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ mais pas un sous-anneau unitaire.
• Opérations. L’intersection d’idéaux est un idéal ; la réunion ne l’est en général pas, et l’on utilise à la place la somme $I+J=\{x+y\}$. On dispose aussi du produit $IJ=\bigl\{\sum_k x_ky_k\bigr\}$, avec $IJ\subseteq I\cap J$, l’inclusion pouvant être stricte : dans $\mathbb{Z}$, $(2)(2)=(4)$ alors que $(2)\cap(2)=(2)$.
• Idéaux engendrés. Dans un anneau commutatif, $(a_1,\dots,a_r)=\{\sum a_ix_i : x_i\in A\}$. Un idéal engendré par un seul élément est dit principal ; un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est un anneau principal.

Exemples

1. Dans $\mathbb{Z}$, les idéaux sont exactement les $n\mathbb{Z}$ pour $n\geqslant 0$. L’idéal $n\mathbb{Z}$ est premier si et seulement si $n=0$ ou $n$ est premier, et maximal si et seulement si $n$ est premier. Le quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps exactement dans ce dernier cas.
2. Dans $K[X]$, les idéaux sont les $(P)$ ; l’idéal $(P)$ est maximal si et seulement si $P$ est irréductible, et $K[X]/(P)$ est alors un corps.
3. Dans $K[X,Y]$, l’idéal $(X,Y)$ n’est pas principal : c’est souvent le premier exemple d’anneau factoriel non principal qu’on rencontre.