Série convergente

Définition formelle

Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ une suite d’éléments de $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
Soit $(S_n)_n$ une série de terme général $u_n$.

On dit que la série $(S_n)_n$ converge lorsque la suite $(S_n)_n$ converge dans $\mathbb{K}$, c’est-à-dire lorsqu’il existe $S \in \mathbb{K}$ tel que
$$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \xrightarrow[n \to +\infty]{} S.$$Dans ce cas, $S$ s’appelle la somme de la série et se note
$$S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n.$$

Dans le cas contraire, on dit que la série diverge.

Condition nécessaire à la convergence

• Si la série $(S_n)_n$ de terme général $u_{n}$ converge alors $u_{n}\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.