Ivan Shishkin, Birch Grove

Théorème des accroissements finis

Theorem / Real function / Usable

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Also known as: Théorème des accroissement finis

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Définition intuitive

Pour une fonction continue sur un intervalle [a,b][a,b], il existe un réel cc de cet intervalle tel que la derivée de la fonction en ce point est égale à la pente moyenne de la fonction sur l’intervalle.

Enoncé :

Soit f:[a,b]→Rf:[a,b]\rightarrow \R une fonction telle que:

Alors, il existe c∈]a,b[c\in ]a,b[ tel que
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c)=\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Remarques

  • Le réel cc du théorème n’est pas toujours unique.
  • Ce théorème est une généralisation du théorème de Rolle et est démontré à partir de celui-ci.

Practice this concept with exercises

  • Soit II un intervalle et f:I↦Rf: I \mapsto \mathbb{R} tel que ff est dérivable sur II.
    Soit K∈R+K \in \mathbb{R}_{+}.
    Montrez que
    f est K-lipschitzienne  ⟺  ∀t∈I, ∣f′(t)∣≤K.f \text{ est } K\text{-lipschitzienne} \iff \forall t \in I,\ |f'(t)| \le K.

    Open exercise
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