Carrés dans un anneau

On dispose des petits carrés identiques de façon à former le contour d’un grand carré de côté $n$ , comme sur la figure ci-dessous.

Exemples pour $n=3$ et $n=5$

Pour un $n$ donné, combien de petits carrés y a-t-il au total ?

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Solution by Sequoia

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Le grand carré étant de côté $n$ , chaque côté contient $n$ petits carrés. Il y a $4$ côtés donc $4n$ petits carrés. Cependant, en comptant de cette manière, on compte deux fois chaque coin, donc il faut retirer ces quatre petitd carrés au résultat final. Ce qui donne finalement $4n-4$ petits carrés !

Solution by SalixBabylonica

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Le grand carré est de côté $n$ donc il contient $n^2$ petits carrés. Or, on veut le contour de celui-ci, pour cela, il suffit d’enlever le carré central qui est de taille $(n-2)^{2}$ (en effet, il faut enlever 2 petit carrés par côté et non 1 !).
Il faut donc $n^{2}-(n-2)^{2}=4n-4$ petits carrés.

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