Comment abaisser une perpendiculaire d'un point à une droite ?

Soient une droite $(AB)$ et un point $C$ n’appartenant pas à $(AB)$ .

Proposer à la règle et au compas collapsible une méthode de construction d’une droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1, proposition 12

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Solution by goldfinch

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Positionner un point $D$ quelconque du côté opposé à $C$ par rapport à la droite $(AB)$

Tracer le cercle de centre $C$ et de rayon $CD$ . Celui-ci coupe $(AB)$ en $E$ et $F$ , donc $CE=CF$ .

Construire $G$ le milieu de $E$ et $F$ (pour cette construction, voir le problème Comment partager un segment en deux parties égales ? ).
NB : les éléments de construction ont été conservés en arrière plan sur la figure.

Considérons maintenant les deux triangles $EGC$ et $CGF$ .
Ces deux triangles ont leurs trois côtés égaux un à un : le côté $GC$ est commun aux deux, $CE=CF$ par construction, et $EG=GF$ car $G$ milieu de $EF$ .

Or deux triangles ayant trois côtés égaux un à un ont aussi leurs angles égaux un à un (pour cette démonstration, voir le problème Trois côtés suffisent-ils pour définir le triangle ?).
En particulier, les deux angles correspondants en $G$ sont égaux : $\widehat {EGC}=\widehat{CGF}$ .

Or, la définition d’ un angle droit en géométrie euclidienne correspond justement à la situation où, quand deux lignes droites se croisent, les angles de part et d’autre sont égaux .

Donc la droite $(GC)$ ainsi construite est bien la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ .

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