Comment construire une parallèle à une droite donnée ?

Soit une droite $(BC)$ et un point $A$ n’appartenant pas à cette droite.

Proposer une méthode de construction, à la règle non graduée et au compas collapsible, d’une droite parallèle à $(BC)$ passant par $A$

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 31

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Solution by goldfinch

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Soit un point $D$ quelconque sur la droite $(BC)$ , et soit $\widehat {ADC}$ l’angle que fait la droite $(AD)$ avec la droite $(BC)$ .

Nous pouvons construire une droite $(AP)$ passant par le point A, et faisant avec la droite $(AD)$ un angle $\widehat {EAD}$ isométrique à $\widehat {ADC}$ (Pour cette construction, voir le problème Même angle, autre sommet).
NB : nous avons laissé en arrière plan tous les traits de construction de cette droite. Rappelons-en les étapes principales : on construit sur la droite $(AD)$ les points I (traits de construction en bleu) et N (traits de construction en rouge) qui sont respectivement les reports en $A$ de la longueur $DE$ (soit $AI=DE$ ) et en $D$ le report de la longueur $AE$ (soit $DN=AE$ ). Ensuite on construit $P$ intersection des deux cercles de centre $A$ de rayon $AI$ , et de centre $D$ de rayon $DN$ .

La droite $(AP)$ ainsi construite sera parallèle à la droite $(BC)$ car nous sommes dans la configuration de deux droites qui, coupées par une autre droite, ont des angles alternes-internes égaux (pour cette démonstration, voir le problème Des angles alternes-internes aux parallèles).

Cette construction constitue donc bien une méthode répondant à la question.

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