Comment trouver le centre d’un cercle déjà tracé ?

Soient $A$ et $B$ deux points quelconques du cercle. Tracer la corde $[AB]$.

Soit $C$ le milieu de $[AB]$ (pour la construction d’un milieu à la règle et au compas collapsible, voir le problème Comment partager un segment en deux parties égales ?).

Construire la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ (pour la construction de cette perpendiculaire, voir le problème Comment élever une perpendiculaire en un point d’une droite ?).
Soient $D$ et $E$ les points d’intersection de cette perpendiculaire avec le cercle.

Soit $F$ le milieu de $[DE]$ (pour la construction d’un milieu, voir la référence ci-dessus).

F est le centre du cercle, comme nous allons le prouver ci-dessous.

Effectuons une démonstration par l’absurde, en supposant qu’il existe un centre $G$ différent de $F$, et en montrant que cette configuration est impossible.

Considérons les deux triangles $ACG$ et $CBG$. Ces deux triangles ont trois côtés égaux deux à deux : le côté $CG$ est commun aux deux triangles, $GA=GB$ par définition du centre du cercle $G$, et $AC=CB$ vu que $C$ est milieu de $[AB]$. Deux triangles ayant trois côtés égaux ont leurs trois angles égaux deux à deux aussi (pour la démonstration de cette propriété, voir le problème Trois côtés suffisent-ils pour définir le triangle ?), en particulier $\widehat {BCG}=\widehat {ACG}$ .

Par ailleurs, par définition de l’angle droit, lorsqu’une droite - ici $(GC)$- coupe une autre droite - ici $(AB)$ - en faisant deux angles égaux de part et d’autre du point d’intersection, alors les deux angles égaux sont des angles droits.
Etant donné que l’angle $\widehat {FCB}$ est un angle droit par construction, $\widehat {BCG}$ ne peut à la fois être une partie de l’angle droit $\widehat {FCB}$ et être lui-même un angle droit.

Il y a donc contradiction ici, et ceci prouve qu’il ne peut exister un autre centre que $F$.
Le point $F$ dont la construction a été proposée ci-dessus est donc bien le centre du cercle tracé.