Compacité des ensembles de Julia

Soit $P$ un polynôme de degré au moins $2$ et $z\in\mathbb{C}$ . On définit la suite $(u_n(z))_n$ par $u_0(z):=z$ et $u_{n+1}(z)=P(u_n(z))$ .
On note $K$ l’ensemble des $z$ tels que la suite $(u_n(z))_n$ est bornée.

Montrer que $K$ est compact.

Sur l’image qui suit, on a dessiné un tel ensemble $K$ pour $P(X)=X^2+c$ . C’est ce qu’on appelle un ensemble de Julia. On peut montrer qu’une suite $(u_n(z))_n$ pour ce polynôme est forcément bornée par__ $2$ _si elle est bornée. Pour construire un ensemble de Julia et obtenir ce beau dégradé, on regarde à partir de quel rang la suite dépasse la valeur critique $2$ . Plus ce rang est élevé et plus la couleur associée au paramètre $z$ est proche du blanc et, si ce rang est bas, on vire au noir. Le choix des couleurs intermédiaires ne sont là que pour l’esthétique.
Les ensembles de Mandelbrot, aussi bien connus, correspondent quant à eux à chercher les valeurs de $c$ pour lesquelles notre suite est bornée, en fixant la condition initiale $u_0$ .

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Solution by Anduril

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Notons que, par définition, $u_n(z)=P^{\circ n}(z)$ où $f^{\circ n}:=f\circ \dots\circ f$ (composée $n$ fois).

Quand $\vert x\vert$ tend vers l’infini, $\vert x\vert = o(P(x))$ car $P$ est de degré au moins $2$ .
Ainsi il existe $M>0$ tel que si $\vert x\vert>M$ , alors $\vert P(x)\vert>2\vert x\vert$ .
Donc si $|z|>M$ , en itérant cette inégalité, $(P^{\circ n}(z))_{n \in \mathbb{N}}$ n’est pas bornée (minorée en norme par $2^{n}M$ ).
D’où $K\subset \overline{B(0,M)}$ donc $K$ est bornée.

De plus, avec ce qui précède, $K$ est l’ensemble des $z$ tels que pour tout $n\in\N$ , $|P^{n}(z)|$ est inférieur à $M$ .
Ainsi $K=\bigcap_{n\in\N} u_n^{-1}(\overline{B(0,M)})$ donc c’est une intersection de fermés (car les $u_n$ sont continues en tant que polynômes et la boule fermée de rayon $M$ est fermée). Donc $K$ est un fermé.

Ainsi, $K$ est fermé borné et on est en dimension finie donc c’est un compact.

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