Construction d’un carré sur un segment

Construire d’abord une perpendiculaire à $(AB)$ passant par A (pour cette construction, voir le problème Construction géométrique d’une droite perpendiculaire à une autre droite (1)). Positionner le point C sur cette droite tel que $AC=AB$.

Construire ensuite la droite parallèle à $(AB)$ passant par C, puis la droite parallèle à $(AC)$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée), et positionner le point D à l’intersection de ces deux parallèles.

Le quadrilatère $ABDC$ ainsi construit est un parallélogramme vu que ses côtés opposés sont parallèles deux à deux par construction. On peut donc en déduire que les longueurs de ses côtés opposés sont égales deux à deux $AB=CD$ et $AC=BD$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux).

Comme, par construction, $AC=AB$, nous avons bien égalité de tous les côtés $AB=AC=CD=DB$.

Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux), donc $\widehat {BAC}=\widehat {CDB}$ et $\widehat {ACD}=\widehat {DBA}$ .

Par ailleurs, par construction, l’angle $\widehat {BAC}$ est un angle droit, donc son opposé $\widehat {CDB}$ est un angle droit aussi.

Enfin, lorsque la droite $(AC)$ coupe les deux parallèles $(AB)$ et $(CD)$, nous pouvons montrer que les deux angles intérieurs $\widehat {CAB}$ et $\widehat {ACD}$ ont une somme égale à deux angles droits (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des parallèles aux angles).
On peut donc en déduire que l’angle $\widehat {ACD}$ est aussi un angle droit, et son opposé $\widehat {ABD}$ aussi. Tous les angles du parallélogramme sont donc égaux à des angles droits.

Un parallélogramme ayant des côtés tous égaux et des angles tous égaux à un angle droit est bien un carré. La construction proposée répond donc bien à la question.