Construction d’un parallélogramme : aire, angle et base imposés

La construction est constituée de trois étapes : on construit d’abord un parallélogramme iso-aire avec le triangle, sur un des côtés du triangle. On reporte ensuite ce parallélogramme, grâce à un de ses côtés, en $A$ sur la droite $(AB)$. Enfin, une construction avec des parallélogrammes complémentaires en A permet d’accéder au parallélogramme final.

1. Construisons d’abord, sur un des côtés du triangle, un parallélogramme $FEHG$ d’angle $α$ et dont l’aire est égale à celle du triangle $CDE$ : $\bf [FEGH]=[CDE]$ (1)
   NB : Pour ceci, il est nécéssaire de construire le point $I$ milieu de $DE$ et les points G et H, intersections de la parallèle à $(DE)$ passant par $C$ et des droites $(FG)$ passant par F et faisant un angle α avec $(DE)$, et de sa parallèle passant par $E$ (pour le détail de cette construction, voir le problème Construction d’un parallélogramme d’angle donné, égal en aire à un triangle) :

2. Transposons maintenant ce parallélogramme $GHEF$ sur la droite AB , ceci de la façon suivante.

Soit le point $I$ sur la droite $(AB)$ tel que $IA=FE$ (pour cette construction , voir le problème Comment reporter une longueur sur un segment).
NB : dans un souci de clarté, les traits de construction intermédiaires n’ont pas été laissés sur la figure, mais il est intéressant au lecteur de passer par toutes les étapes dans le détail pour éprouver la puissance du raisonnement d’ensemble à la règle et au compas.

Soit le point $J$ positionné sur la droite passant par $A$ et faisant un angle $α$ avec $(AI)$ tel que $AJ=FG$ (pour cette construction , voir le problème Même angle, autre sommet)

Soit le point $K$ situé à l’intersection de la parallèle à $(AB)$ passant par $J$, et de la parallèle à $(AJ)$ passant par $I$ (pour ces constructions de parallèles, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

Le parallélogramme $AIKJ$ ainsi construit est superposable et a la même aire que le parallélogramme $FEHG$ :
$\bf [AIKJ]=[FEHG]$ (2)

3. Il nous reste à transposer le parallélogramme $AIKJ$ sur le segment $[AB]$. Ce transfert de parallélogramme se fait par une construction de parallélogrammes complémentaires au point A : ceci de la façon suivante.

Soit le point $L$ intersection de la droite $(KJ)$ avec la parallèle à $(AJ)$ passant par $B$.

Soit le point $M$ intersection de $(LA)$ avec $(IK)$.

Soit le point $N$ intersection de $(AJ)$ avec la parallèle à $(AB)$ passant par $M$.

Soit le point $O$ intersection de $(BL)$ avec $(MN)$.

Le parallélogramme $\bf ABON$ ainsi construit est de même aire que le parallélogramme $AIKJ$ car les deux parallélogrammes $AIKJ$ et $ABON$ sont complémentaires en A, point de la diagonale $[ML]$ du grand parallélogramme $MOLK$: $\bf [ABON]=[AIKJ]$ (3)
$\textbf {Ah bon !}$ direz-vous ? Et bien la démonstration de ce point se trouve dans le problème Même aire pour des parallélogrammes « complémentaires ».

Avec (1), (2) et (3), nous avons donc bien : $\bf [ABON]=[AIKJ]= [FEHG]=[CDE]$, ce qu’il fallait démontrer.