Construction d’un parallélogramme d’angle donné, égal en aire à un triangle

Construire d’abord le point $D$ milieu de $AC$ (pour cette construction, voir le problème comment partager un segment en deux parties égales).
NB : dans un souci de clarté, ne figurent ci-dessous que quelques traits de construction principaux mais il est néanmoins conseillé de suivre pas à pas la construction dEuclide pour bien en saisir la puissance, y compris pour des étapes considérées comme relativement "simples" pour un géomètre moderne).

Construire ensuite en $D$ une droite faisant un angle $α$ avec la droite $(AC)$ et passant par $D$ (pour cette construction, voir le problème Même angle, autre sommet).

Construire les points $E$ , intersection entre la droite précédente, et la parallèle à $(AC)$ passant par $B$, et $F$ , intersection de $(BE)$ avec la parallèle à $(ED)$ passant par $C$ (pour la construction des deux parallèles, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

Nous venons ainsi de construire un parallélogramme $EFCD$. Montrons que ce parallélogramme répond à la question posée.
Il possède bien un angle $α$ ; il reste donc à montrer que les aires sont égales, soit :
$\bf [EFCD]=[ABC]$.

Considérons les deux triangles $BAD$ et $BDC$.
Ils ont d’une part une base de même longueur $AD=DC$ , et d’autre part ils sont construits entre les mêmes parallèles $(AC)$ et $(BF)$. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que les triangles sont superposables et donc que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Mêmes parallèles, bases égales… même aire des triangles ?), soit $[BAD]=[BDC]$, mais aussi :
$\bf [ABC]=2\times {[BDC]}$ (1)

Considérons maintenant ensemble le triangle $BDC$ et le parallélogramme $EFCD$. Ils ont d’une part une base commune $[DC]$ et ils sont construits entre les deux mêmes parallèles $(AC)$ et $(BF)$. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires vérifient l’égalité :
$\bf [EFCD]=2\times {[BDC]}$ (2)
(pour la démonstration de ce point, voir le problème Parallélogramme et triangle : pourquoi une aire double ?).

En couplant les égalités (1) et (2), nous obtenons bien l’égalité des aires recherchée :
$\bf [EFCD]=[ABC]$.

Cette méthode de construction répond donc bien à la question posée.