Construction d’un parallélogramme de même aire qu’un quadrilatère

Soient un quadrilatère quelconque $ABCD$ et un angle $α$ .

Proposer une méthode de construction d’un parallélogramme ayant un de ses angles égal à $α$ , et de même aire que le quadrilatère

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons les notations $[ABC]$ et $[ABCD]$ pour noter l’aire d’un triangle $ABC$ et d’un quadrilatère $ABCD$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 45

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Solution by goldfinch

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Découpons le quadrilatère en deux triangles $ABC$ et $ACD$ en traçant le segment $[AC]$ .

Construisons sur la droite $(AC)$ un parallélogramme $EFGC$ ayant un de ses angles égal à $α$ et de même aire que le premier triangle $ABC$ (pour le détail de cette construction , voir le problème Construction d’un parallélogramme de même aire qu’un triangle).
Nous avons donc : $\bf [EFGC]=[ABC]$ (1)

Nous pouvons ensuite reproduire ce parallélogramme en un point quelconque $H$ de la façon suivante . Construire d’abord un segment $[HK]$ tel que $HK=EC$ (pour cette construction, voir le problème Gymnastique géométrique à la règle et au compas).

Construire ensuite une droite d’angle $α$ par rapport à $(HK)$ passant par $H$ , et positionner le point $I$ tel que $HI=EF$ (pour cette construction, voir le problème Même angle, autre sommet.

Tracer ensuite une parallèle à $(HK)$ passant par $I$ et positionner le point $J$ à l’intersection de cette paralléle avec la parallèle à $(HI)$ passant par $K.$

Ce nouveau parallélogramme $HKJI$ , qui est superposable au parallélogramme $EFGC$ , a la même aire que lui, donc : $\bf [ HKJI]=[ EFGC]=[ABC]$ (2)

La deuxième partie de la construction est identique à la première, en prenant le second triangle $ACD$ comme figure initiale.

Construire d’abord un parallélogramme $ELMA$ ayant un de ses angles égal à $α$ et de même aire que le second triangle $ACD$ . Nous avons donc : $\bf [ELMA]=[ACD]$ (3)

Ce parallélogramme est alors reproduit au point $H$ de la façon suivante . Construire d’abord un segment $[HK’]$ tel que $HK’=AE=HK$ en faisant coïncider les points $K’$ et $K$ .

Construire ensuite une droite d’angle $α$ passant par $K$ , et positionner le point $N$ tel que $KN=EL$ .

Tracer ensuite une parallèle à $(HK)$ passant par $N$ et positionner le point $O$ à l’intersection de cette paralléle avec la parallèle à $(KN)$ passant par H.

Ce nouveau parallélogramme $HKNO$ , qui est superposable au parallélogramme $ELMA$ , a la même aire que lui, donc : $\bf [ HKNO]=[ ELMA]=[ACD]$ (4)

Nous avons ainsi construit deux parallélogrammes ayant chacun un de ses angles égal à $α$ , ayant chacun une aire égale à l’un des deux triangles initiaux, et possédant une base commune $[HK]$ .

Par la « transitivité » du parallélisme (pour démontrer ce point, voir le problème Transitivité du parallélisme) , nous pouvons montrer que le quadrilatère $IJNO$ , construit sur les deux parallélogrammes $HKJI$ et $HKNO$ , a des côtés opposés parallèles deux à deux, et qu’il est donc lui-même un parallélogramme, et son aire est égale à la somme des aires des deux parallélogrammes, soit : $\bf [IJNO]=[HKJI]+[HKNO]$

Cette dernière égalité couplée à (2) et (4) nous permet d’écrire que : $\bf [IJNO]=[ABC]+[ACD]=[ABCD]$ .

La construction répond donc bien à la question posée.

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