Construction d’un parallélogramme de même aire qu’un quadrilatère

Découpons le quadrilatère en deux triangles $ABC$ et $ACD$ en traçant le segment $[AC]$.

1. Construisons sur la droite $(AC)$ un parallélogramme $EFGC$ ayant un de ses angles égal à $α$ et de même aire que le premier triangle $ABC$ (pour le détail de cette construction , voir le problème Construction d’un parallélogramme de même aire qu’un triangle).
   Nous avons donc : $\bf [EFGC]=[ABC]$ (1)

Nous pouvons ensuite reproduire ce parallélogramme en un point quelconque $H$ de la façon suivante . Construire d’abord un segment $[HK]$ tel que $HK=EC$ (pour cette construction, voir le problème Gymnastique géométrique à la règle et au compas).

Construire ensuite une droite d’angle $α$ par rapport à $(HK)$ passant par $H$, et positionner le point $I$ tel que $HI=EF$ (pour cette construction, voir le problème Même angle, autre sommet.

Tracer ensuite une parallèle à $(HK)$ passant par $I$ et positionner le point $J$ à l’intersection de cette paralléle avec la parallèle à $(HI)$ passant par $K.$

Ce nouveau parallélogramme $HKJI$, qui est superposable au parallélogramme $EFGC$, a la même aire que lui, donc : $\bf [ HKJI]=[ EFGC]=[ABC]$ (2)

2. La deuxième partie de la construction est identique à la première, en prenant le second triangle $ACD$ comme figure initiale.

Construire d’abord un parallélogramme $ELMA$ ayant un de ses angles égal à $α$ et de même aire que le second triangle $ACD$. Nous avons donc : $\bf [ELMA]=[ACD]$ (3)

Ce parallélogramme est alors reproduit au point $H$ de la façon suivante . Construire d’abord un segment $[HK’]$ tel que $HK’=AE=HK$ en faisant coïncider les points $K’$ et $K$.

Construire ensuite une droite d’angle $α$ passant par $K$, et positionner le point $N$ tel que $KN=EL$ .

Tracer ensuite une parallèle à $(HK)$ passant par $N$ et positionner le point $O$ à l’intersection de cette paralléle avec la parallèle à $(KN)$ passant par H.

Ce nouveau parallélogramme $HKNO$, qui est superposable au parallélogramme $ELMA$, a la même aire que lui, donc : $\bf [ HKNO]=[ ELMA]=[ACD]$ (4)

3. Nous avons ainsi construit deux parallélogrammes ayant chacun un de ses angles égal à $α$, ayant chacun une aire égale à l’un des deux triangles initiaux, et possédant une base commune $[HK]$.

Par la « transitivité » du parallélisme (pour démontrer ce point, voir le problème Transitivité du parallélisme) , nous pouvons montrer que le quadrilatère $IJNO$, construit sur les deux parallélogrammes $HKJI$ et $HKNO$, a des côtés opposés parallèles deux à deux, et qu’il est donc lui-même un parallélogramme, et son aire est égale à la somme des aires des deux parallélogrammes, soit : $\bf [IJNO]=[HKJI]+[HKNO]$

Cette dernière égalité couplée à (2) et (4) nous permet d’écrire que : $\bf [IJNO]=[ABC]+[ACD]=[ABCD]$ .

La construction répond donc bien à la question posée.