Construction d’un parallélogramme de même aire qu’un triangle

Soit le point $D$ milieu de $AC$. Construisons une droite faisant un angle $α$ avec la droite $(AC)$ et passant par $D$ (pour cette construction, voir le problème Même angle, autre sommet).

Soient les points E , intersection entre la droite précédemment construite, et la parallèle à $(AC)$ passant par B, et F , intersection de $(BE)$ avec la parallèle à $(ED)$ passant par $C$ (pour la construction des deux parallèles, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Nous venons ainsi de construire un parallélogramme $EFCD$. Montrons que ce parallélogramme répond à la question posée. Il possède bien un angle $α$ ; il reste donc à montrer que les aires sont égales, soit :
$\bf [EFCD]=[ABC]$.

Considérons les deux triangles $BAD$ et $BDC$. Ils ont d’une part une base de même longueur $AD=DC$ , et d’autre part ils sont construits entre les mêmes parallèles $(AC)$ et $(BF)$. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux triangles : bases de même longueur, même aire), soit $[BAD]=[BDC]$, mais aussi :
$\bf [ABC]=2\times {[BDC]}$ (1)

Considérons maintenant ensemble le triangle $BDC$ et le parallélogramme $EFCD$. Ils ont d’une part une base commune $[DC]$ et ils sont construits entre les deux mêmes parallèles $(AC)$ et $(BF)$. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires vérifient l’égalité :
$\bf [EFCD]=2\times {[BDC]}$ (2)
(pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle et un parallélogramme ayant une base commune).

En couplant les égalités (1) et (2), nous obtenons bien l’égalité des aires recherchée : $\bf [EFCD]=[ABC]$.

Cette méthode de construction répond donc bien à la question posée.