Des triangles rectangles au secours d’une autre égalité d’aires

Construire la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ (pour cette construction, voir le problème Comment élever une perpendiculaire en un point d’une droite ?)
Soit $E$ un point de cette perpendiculaire tel que $CE=AC$ (un simple cercle de centre C et de rayon $AC$ suffit pour déterminer ce point).

Construire la parallèle à $(CE)$ passant par $D$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $E$ (pour la construction de ces parallèles, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).
Soit $F$ l’intersection de ces deux parallèles.

Dans cette construction, où $(EF)$ coupe $(CE)$ et $(DF)$, nous pouvons prouver que la somme des deux angles $\widehat {CEF}$ et $\widehat {EFD}$ est égale à deux angles droits (pour cette démonstration, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles). Comme l’angle $\widehat {BEF}$ est une partie de l’angle $\widehat {CEF}$, nous pouvons en déduire que la somme des angles $\widehat {BEF}$ et $\widehat {EFD}$ est inférieure à deux angles droits, et donc que les deux droites $(EB)$ et $(FD)$ vont se rencontrer. Soit $G$ leur point d’intersection.

Intéressons-nous d’abord au $\textbf {triangle}$ $\bf ACE$. Il a deux côtés égaux par hypothèse $AC=CE$, donc il est isocèle en C, et a donc ses deux angles $\widehat {CAE}$ et $\widehat {AEC}$ égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?).
Par ailleurs, les trois angles du triangle étant égaux à deux angles droits (voir problème Comment Euclide démontre que les angles d’un triangle valent deux angles droits), et que l’angle $\widehat {ACE}$ est droit par construction, on peut en conclure que les angles $\widehat {CAE}$ et $\widehat {AEC}$ sont égaux chacun à un demi angle droit.

Intéressons-nous au $\textbf {triangle}$ $\bf ECB$. On peut mener exactement le même raisonnement en partant du constat que $CE=AC=CB$ (car C milieu de $AB$). On peut en conclure de la même façon que les angles $\widehat {CBE}$ et $\widehat {CEB}$ sont égaux chacun à un demi angle droit.

Par conséquent, l’angle au sommet E, soit $\widehat {AEB}$, est un angle droit (car composé de deux demi-angles droits).

Considérons le $\textbf {triangle}$ $\bf DBG$. Etant donné que l’angle $\widehat {EBC}$ est égal à un demi-angle droit, son opposé au sommet $B$, $\widehat {DBG}$, est égal aussi à un demi-angle droit (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux droites se coupent... que font les angles opposés ?). Par là même, le triangle $BDG$ est isocèle en $D$, et donc : $\bf DG=DB$ (1)

Enfin, considérons le $\textbf {triangle}$ $\bf EGF$. Etant donné que la somme des trois angles est égale à deux angles droits, que l’angle $\widehat {GFE}$ est un angle droit, et que l’angle $\widehat {DGB}$ est un demi-angle droit, on peut en conclure que l’angle $\widehat {GEF}$ est un demi-angle droit aussi, donc que le triangle $EGF$ est isocèle, et donc que $FG=EF$ .
Le triangle $EGF$ est donc isocèle en $F$ et par conséquent on a égalité des deux côtés $GE$ et $GF$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux angles égaux...et les côtés ?), soit $EF=FG$.

Nous allons maintenant à quatre reprises utiliser le théorème de Pythagore pour les quatre triangles rectangles de cette construction, soit $ACE$, $EFG$, $AEG$ et $ADG$ (pour la démonstration du théorème de Pythagore, voir le problème Quand Euclide démontre Pythagore…..).

Appliquons donc la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf ACE$ : la somme des aires du carré sur $[AC]$ et du carré sur $[CE]$ est égale à l’aire du carré sur $[AE]$. En notant que $CE=AC$, nous pouvons en déduire que :
l’aire du carré sur $[AE]$ est égale à deux fois l’aire du carré sur $[AC]$ (2)

Appliquons la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf EFG$. Un raisonnement analogue nous permet de dire que l’aire du carré sur $[EG]$ est égale à deux fois l’aire du carré sur $[EF]$.
Comme $EF=CD$, nous pouvons aussi en conclure que :
l’aire du carré sur $[EG]$ est égale à deux fois l’aire du carré sur $[CD]$ (3)

Si nous utilisons les deux égalités (2) et (3) , nous pouvons en déduire que la somme des aires des deux carrés sur $[AE]$ et $[EG]$ est égale à deux fois la somme des aires des deux carrés sur $[AC]$ et $[CD]$ (4)

Appliquons la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf AEG$ (ce triangle est rectangle en $E$ comme montré ci-dessus): la somme des aires du carré sur $[AE]$ et du carré sur $[EG]$ est égale à l’aire du carré sur $[AG]$
Cette égalité, couplée avec (3) nous donne :
l’aire du carré sur $[AG]$ est égale à deux fois la somme des aires des deux carrés sur $[AC]$ et $[CD]$ (5)

Enfin, appliquons la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf ADG$. Nous obtenons la relation suivante :
l’aire du carré sur $[AG]$ est égale à la somme des aires du carré sur $[AD]$ et du carré sur $[DG]$ (6)

La relation (5) couplée avec la relation (6) nous permet de conclure que la somme des aires du carré sur $[AD]$ et du carré sur $[DG]$ est égale à deux fois la somme des aires des deux carrés sur $[AC]$ et $[CD]$ .

En utilisant la relation (1), soit $DG=DB$, nous trouvons la relation finale qu’il fallait démontrer, soit : $\textbf {la somme des aires des deux carrés sur}$ $\bf [AD]$ $\textbf {et sur}$ $\bf [DB]$$\textbf {est égale à deux fois la somme des aires des deux carrés sur}$ $\bf [AC]$ $\textbf {et sur}$ $\bf[CD]$.