Des triangles rectangles au secours d’une égalité d’aires

Construire la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ (pour cette construction, voir le problème Comment élever une perpendiculaire en un point d’une droite ?)
Soit $E$ un point de cette perpendiculaire tel que $CE=AC$ (un simple cercle de centre C et de rayon $AC$ suffit pour déterminer ce point).

Construire la parallèle à $(CE)$ passant par $D$ (pour la construction de cette parallèle et des suivantes, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).
Soit $F$ l’intersection de cette parallèle avec $(BE)$.

Construire la parallèle à $(AB)$ passant par $F$.
Soit $G$ l’intersection de cette parallèle avec $(CE)$.

Intéressons-nous d’abord au $\textbf {triangle}$ $\bf ACE$. Il a deux côtés égaux par hypothèse $AC=CE$, donc il est isocèle, et a donc ses deux angles $\widehat {CAE}$ et $\widehat {AEC}$ égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?).
Par ailleurs, les trois angles du triangle étant égaux à deux angles droits (voir problème Comment Euclide démontre que les angles d’un triangle valent deux angles droits), et que l’angle $\widehat {ACE}$ est droit par construction, on peut en conclure que les angles $\widehat {CAE}$ et $\widehat {AEC}$ sont égaux chacun à un demi angle droit.

Intéressons-nous au $\textbf {triangle}$ $\bf ECB$. On peut mener exactement le même raisonnement en partant du constat que $CE=AC=CB$ (car C milieu de $AB$). On peut en conclure de la même façon que les angles $\widehat {CBE}$ et $\widehat {CEB}$ sont égaux chacun à un demi angle droit.

Par conséquent, l’angle au sommet E, soit $\widehat {AEB}$ est un angle droit (car composé de deux demi-angles droits).

Si nous considérons les deux droites parallèles $(AB)$ et $(GF)$ coupées par la droite $(EC)$, nous pouvons montrer que les deux angles $\widehat {EGF}$ et $\widehat {ECB}$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles), donc $\widehat {EGF}$ est un angle droit aussi.

Si nous considérons maintenant le $\textbf {triangle}$ $\bf EGF$, étant donné que la somme des trois angles est égale à deux angles droits, nous pouvons en déduire que l’angle $\widehat {GFE}$ est un demi-angle droit aussi.
Le triangle $EGF$ est donc isocèle en $G$ et par conséquent on a égalité des deux côtés $GE$ et $GF$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux angles égaux...et les côtés ?), soit $GE=GF$.

Enfin, intéressons-nous au $\textbf {triangle}$ $\bf DBF$.
Si nous considérons les deux droites $(CE)$ et $(DF)$ coupées par $(AB)$, nous pouvons montrer que les deux angles $\widehat {FDB}$ et $\widehat {ECB}$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles), donc $\widehat {FDB}$ est un angle droit aussi.
Dans le triangle $DBF$ les trois angles étant égaux à deux angles droits, l’angle $\widehat {DFB}$ sera donc égal à un demi-angle droit aussi. Le triangle $DBF$ est donc isocèle en D, et $DB=DF$.

Nous allons maintenant à quatre reprises utiliser le théorème de Pythagore pour quatre triangles rectangles de cette construction (pour la démonstration du théorème de Pythagore, voir le problème Quand Euclide démontre Pythagore…..).

Appliquons la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf ACE$. Nous obtenons la relation suivante : la somme des aires du carré sur $[AC]$ et du carré sur $[CE]$ est égale à l’aire du carré sur $[AE]$. En notant que $CE=AC$, nous pouvons dire que : l’aire du carré sur $[AE]$ est égale à deux fois l’aire du carré sur $[AC]$ (1)

Appliquons la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf EGF$. Le même raisonnement nous permet de dire que l’aire du carré sur $[EF]$ est égale à deux fois l’aire du carré sur $[GF]$.
Comme $GF=CD$, nous pouvons aussi en conclure que :
l’aire du carré sur $[EF]$ est égale à deux fois l’aire du carré sur $[CD]$ (2)

Si nous utilisons les deux égalités (1) et (2) , nous pouvons en déduire que :
la somme des aires des deux carrés sur $[AE]$ et $[EF]$ est égale à deux fois la somme des
aires des deux carrés sur $[AC]$ et $[CD]$ (3)

Appliquons la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf AEF$ (ce triangle est rectangle en $E$ comme montré ci-dessus). Nous obtenons la relation suivante :
la somme des aires du carré sur $[AE]$ et du carré sur $[EF]$ est égale à l’aire du carré sur $[AF]$
Cette égalité, couplée avec (3) nous donne :
l’aire du carré sur $[AF]$ est égale à deux fois la somme des aires des deux carrés sur $[AC]$ et $[CD]$ (4)

Enfin, appliquons la relation de Pythagore au $\textbf {triangle rectangle}$ $\bf AFD$. Nous obtenons la relation suivante :
la somme des aires du carré sur $[AD]$ et du carré sur $[DF]$ est égale à l’aire du carré sur $[AF]$ (5)

La relation (5) couplée avec la relation (4) nous permet de conclure que : la somme des aires des deux carrés sur $[AC]$ et $[CD]$ est égale à la somme des aires du carré sur $[AD]$ et du carré sur $[DF]$.

En utilisant le fait que $DF=DB$, nous trouvons la relation finale qu’il fallait démontrer, soit : $\textbf {la somme des aires des deux carrés sur}$ $\bf [AC]$ $\textbf {et}$ $\bf [CD]$ $\textbf {est égale à la somme des aires du carré sur}$ $\bf [AD]$ $\textbf {et du carré sur}$ $\bf[DB]$