Consecutive coprime integers

by Ancient Tree·translated by visitor·

Is it true that, for every natural number $n \geq 1$ , $n$ and $n+1$ are coprime^FR?

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Solution by Ancient TreeFR

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Si $d>1$ est un diviseur de $n$ , alors il ne peut pas diviser $n+1$ , sinon il diviserait aussi $1$ .
Pour la même raison, si $d>1$ est un diviseur de $n+1$ , alors il ne peut pas diviser $n$ .

Donc $n$ et $n+1$ ont des diviseurs distincts, à l’exception du diviseur $d=1$ .

Solution by jlzetaFR

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Une propriété utile du $\mathrm{pgcd}$ : $\mathrm{pgcd}(a,b)=\mathrm{pgcd}(a-b,b)$
Ainsi : $\mathrm{pgcd}(n+1,n)=\mathrm{pgcd}(n+1-n,n)=\mathrm{pgcd}(1,n)=1$

Donc $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux.

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