Exponentielle de l’identité

On considère les sommes partielles :

$$\forall n\in\mathbb{N},\qquad \sum_{k=0}^{n}\frac{I_n^k}{k!}.$$

Par linéarité, on peut écrire :

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{I_n^k}{k!} = (\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})I_n.$$

Or,

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \xrightarrow[n\to+\infty]{} e.$$

Ainsi,

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{I_n^k}{k!} \xrightarrow[n\to+\infty]{} eI_n.$$

Par ailleurs, puisque

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{I_n^k}{k!} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \exp(I_n),$$

on en déduit :

$$\boxed{\exp(I_n)=eI_n}.$$