Limite d’une somme de fonctions périodiques

Voici une autre solution. Soit $l$ la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f(x) + g(x)$. Quitte à translater la fonction $g$ par $l$ sans changer $T_{2}$, on peut supposer que $l = 0$. Soit $x \in \mathbb{R}$. Comme $T_{1}$ et $T_{2}$ sont non nulles, on a alors

$\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}} f(x+n(T_{1}+T_{2}))+g(x+n(T_{1}+T_{2})) = 0$.

Or cette limite s’écrit aussi

$(*)\,\,\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}} f(x+nT_{2})+g(x+nT_{1}) = 0$.

Comme

$\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}f(x+nT_{2}) + g(x+nT_{2}) = 0$,

on déduit que $\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}f(x+nT_{2}) = -g(x)$. De même, on déduit que $\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}g(x+nT_{1}) = -f(x)$. En injectant ces nouvelles égalités dans $(*)$, on trouve que $-f(x)-g(x) = 0$, donc que $f(x)+g(x) = 0$, d’où que $f+g$ est constante.

1. Commençons avec un cas simple, $T_1=T_2$. Alors $h=f+g$ est aussi périodique de période $T_1$. Mais une fonction périodique qui converge quand $x\rightarrow +\infty$ est constante comme démontré ici (link to add, the thing is broken right now). Ce lemme sera souvent utile.

2. Maintenant, on considère que $T_1$ et $T_2$ sont différents. L’idée est de vérifier comment $h$ évolue lorsqu’on fait varier la fonction selon, par exemple, la période de $f$ :
   $$h\left(x+T_1\right)=f\left(x+T_1\right)+g\left(x+T_1\right)=f(x)+g\left(x+T_1\right)$$C’est presque $h(x)$. Faisons apparaître ce terme :
   $$h\left(x+T_1\right)=f(x)+g(x)-g(x)+g\left(x+T_1\right)=h(x)+g\left(x+T_1\right)-g(x)$$

On obtient alors l’intéressante propriété suivante :
$$h\left(x+T_1\right)-h(x)=g\left(x+T_1\right)-g(x)$$qui indique que, lorsqu’on fait varier selon $T_1$, seule $g$ varie et non $f$, ce qui est logique.
Par hypothèse, $h(x)$ converge quand $x\rightarrow +\infty$, donc $h(x+T_1)$ converge vers la même limite. on a donc :
$$g\left(x+T_1\right)-g(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0$$Mais cela prouve que $g$ est périodique de période $T_1$, et puisque $g(x+T_1)-g(x)$ est elle-même $T_2$-périodique, par le même argument que plus supra, cela doit tendre vers 0.

En fin de compte, on obtient que $f$ et $g$ ont la même période $T_1$, donc $f+g$ de même ; par le ême argument, encore, on déduit que $f+g$ est constante.