Parallélogramme et triangle : pourquoi une aire double ?

En coupant le parallélogramme $ABCD$ en deux avec la diagonale $[AC]$, nous obtenons deux triangles $ABC$ et $ADC$ superposables, dont tous les côtés et tous les angles deux à deux sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Propriétés du parallélogramme), et donc $[ABC]=[ADC]$.
Or : $[ABCD]=[ABC]+[ADC]$ , donc : $\bf [ABCD]=2\times {[ABC]}$ (1)

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $EBC$. Ils ont une base commune $[BC]$ et ils sont construits entre les mêmes parallèles. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que les aires des deux triangles sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Le sommet d’un triangle a glissé parallèlement à sa base… et l’aire ?), soit :
$\bf [ABC]=[EBC]$ (2)

En couplant (1) et (2), nous obtenons bien l’égalité des aires $\bf [ABCD]=2\times [EBC]$, ce qu’il fallait démontrer.

L'aire d’un parallélogramme est donnée par $\text{base}\times \text{hauteur}$.
L'aire d’un triangle est donnée par
$$\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}.$$Comme le parallélogramme et le triangle ont même base et même hauteur, on obtient le résultat.