Maximal perimeter of a triangle

Sans perte de généralité, quitte à tourner la figure, on peut supposer que l’un des points du triangle est au point d’affixe $1$.
Notons $e^{i\alpha}$ et $e^{i\beta}$ les affixes des deux autres points.

On souhaite donc maximiser la quantité $P(\alpha,\beta)=|e^{i\alpha}-1|+|e^{i\beta}-1|+|e^{i\alpha}-e^{i\beta}|$.
En utilisant la méthode de la factorisation par l’angle moitié, classique lorsqu’on a des sommes ou différences d’exponentielles complexes, on obtient :
$$P(\alpha,\beta)=2\left(\left|\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right|+\left|\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right|+\left|\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right|\right).$$Il faut donc trouver $\alpha$ et $\beta$ qui maximisent cette quantité.

Cela semble très difficile : on ne peut pas utiliser les techniques habituelles d’analyse (dérivées...), puisque les valeurs absolues nous en empêchent.

Ici, il y a une astuce pour se débarasser des valeurs absolues : sans perte de généralité, on peut supposer que $e^{i\alpha}$ se trouve sur le demi-cercle supérieur, tandis que $e^{i\beta}$ se trouve sur le demi-cercle inférieur.

Ainsi : il suffit donc de maximiser $P(\alpha,\beta)=2\left(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)+\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right)$ (sans les valeurs absolues ! Et attention aux signes ! Comme $\alpha$ est compris entre $0$ et $\pi$, et $\beta$ compris entre $-\pi$ et $0$, on a bien $\alpha\geqslant \beta$, et le dernier sinus est bien positif).

Ce problème d’optimisation est traité presque tel quel dans un autre problème, Un problème d’optimisation à trois sinus. On trouve, sans surprise, $\alpha=\frac{2\pi}{3}$ et $\beta=\frac{-2\pi}{3}$, ce qui correspond à un triangle équilatéral !