Soit une ligne droite coupant deux autres droites , en , et , en .
- Montrer que si on a égalité de la mesure des deux angles et , alors les deux droites et sont parallèles
- Montrer que si la somme des mesure des deux angles et est égale à la somme des mesures de deux angles droits, alors les deux droites et sont parallèles
References
- Euclide — Éléments
Solutions
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Solution by goldfinch
- Ce qui est supposé dans le premier cas : (1)
L’égalité de la mesure des angles suivants peut être démontrée : , les deux étant des angles opposés au sommet G (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des angles opposés au sommet). Avec (1), nous pouvons donc en déduire : .
Or si les angles alternes et sont égaux, les droites et sont parallèles (pour démontrer ce point voir le problème Des angles alternes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.
- Ce qui est supposé dans le deuxième cas : la somme des mesure des deux angles et est égale à la somme des mesures de deux angles droits.
Nous pouvons montrer que la somme de la mesure des deux angles adjacents et supplémentaires et est égale à la somme des mesures de deux angles droits (pour cette démonstration, voir le problème Une propriété des angles adjacents et supplémentaires).
Nous pouvons en déduire l’égalité suivante :
ou encore .
Or si les angles alternes et sont égaux, les droites et sont parallèles (pour démontrer ce point voir le problème Des angles alternes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.