Quand des angles révèlent des parallèles

1. Ce qui est supposé dans le premier cas : $\widehat {EGA}=\widehat {GHC}$ (1)

Par ailleurs, l’égalité de la mesure des angles $\widehat {EGA}$ et $\widehat {BGH}$ peut être démontrée , les deux étant des angles opposés au sommet G (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux droites se coupent... que font les angles opposés ?), soit : $\widehat {EGA}=\widehat {BGH}$.
Couplé avec (1), nous pouvons donc en déduire : $\widehat {GHC}=\widehat {BGH}$.

Or si les angles alternes-internes $\widehat {GHC}$ et $\widehat {BGH}$ sont égaux, on peut montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (pour démontrer ce point voir le problème Des angles alternes-internes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.

2. Dans le deuxième cas il est supposé que la somme des mesures des deux angles $\widehat {AGH}$ et $\widehat {GHC}$ est égale à la somme des mesures de deux angles droits.

Nous pouvons montrer par ailleurs que la somme de la mesure des deux angles adjacents et supplémentaires $\widehat {GHC}$ et $\widehat {GHD}$ est égale à la somme des mesures de deux angles droits (pour cette démonstration, voir le problème Une droite placée sur une autre... et les angles ?).

Les deux sommes d’angles précédentes sont donc chacune égale à deux angles droits; nous pouvons en déduire l’égalité des deux sommes :
$\widehat {AGH}+\widehat {GHC}=\widehat {GHC}+\widehat {GHD}$

ou encore $\widehat {AGH}=\widehat {GHD}$.

Or si les angles alternes $\widehat {AGH}$ et $\widehat {GHD}$ sont égaux, on peut montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (pour démontrer ce point, voir le problème Des angles alternes-internes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.