Quand des angles révèlent des parallèles

1. Ce qui est supposé dans le premier cas : $\widehat {EGA}=\widehat {GHC}$ (1)

L’égalité de la mesure des angles suivants peut être démontrée : $\widehat {EGA}=\widehat {BGH}$ , les deux étant des angles opposés au sommet G (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des angles opposés au sommet). Avec (1), nous pouvons donc en déduire : $\widehat {GHC}=\widehat {BGH}$.

Or si les angles alternes $\widehat {GHC}$ et $\widehat {BGH}$ sont égaux, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (pour démontrer ce point voir le problème Des angles alternes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.

2. Ce qui est supposé dans le deuxième cas : la somme des mesure des deux angles $\widehat {AGH}$ et $\widehat {GHC}$ est égale à la somme des mesures de deux angles droits.

Nous pouvons montrer que la somme de la mesure des deux angles adjacents et supplémentaires $\widehat {GHC}$ et $\widehat {GHD}$ est égale à la somme des mesures de deux angles droits (pour cette démonstration, voir le problème Une propriété des angles adjacents et supplémentaires).
Nous pouvons en déduire l’égalité suivante :
$\widehat {AGH}+\widehat {GHC}=\widehat {GHC}+\widehat {GHD}$
ou encore $\widehat {AGH}=\widehat {GHD}$.

Or si les angles alternes $\widehat {AGH}$ et $\widehat {GHD}$ sont égaux, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (pour démontrer ce point voir le problème Des angles alternes aux parallèles). Ce qu’il fallait démontrer.