Un parallélogramme de base donnée, de même aire qu’un triangle

Soient un segment $[AB]$ , un triangle $CDE$ et un angle $α$ .

Proposer une méthode de construction d’un parallélogramme de base $[AB]$ , ayant un de ses angles égal à $α$ , et d’aire identique à celle du triangle.

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons la notation $[ABC]$ pour noter l’aire d’un triangle $ABC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 44

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Solution by goldfinch

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Construisons d’abord, sur un des côtés du triangle, un parallélogramme $FEHG$ d’angle $α$ et dont l’aire est égale à celle du triangle $CDE$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un parallélogramme de même aire qu’un triangle) : $\bf [FEGH]=[CDE]$ (1)

Transposons maintenant ce parallélogramme sur la droite AB , ceci de la façon suivante.

Soit le point I sur la droite $(AB)$ tel que $BI=FE$ (pour cette construction , voir le problème Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2)).

Soit le point J positionné sur la droite passant par B et faisant un angle $α$ avec $(AB)$ tel que $BJ=FG$ (pour cette construction , voir le problème Même angle, autre sommet)

Soit le point K situé à l’intersection de la parallèle à $(AB)$ passant par $J$ , et de la parallèle à $(BJ)$ passant par $I$ (pour ces constructions de parallèles, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Le parallélogramme $BIKJ$ ainsi construit est superposable et a la même aire que le parallélogramme $FEGH$ :
$\bf [BIKJ]=[FEGH]$ (2)

Il nous reste à transposer le parallélogramme $BIKJ$ sur le segment $[AB]$ .

Soit le point $L$ intersection de la droite $(JK)$ et de la parallèle à $(BJ)$ passant par $A$ .

Soit le point $M$ intersection de $(LB)$ avec $(IK)$ .

Soit le point $N$ intersection de $(AL)$ avec la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ .

Soit le point $O$ intersection de $(AL)$ avec $(MN)$ .

Le parallélogramme $\bf ABON$ ainsi construit est de même aire que le parallélogramme $BIKJ$ .
$\textbf {Ah bon !}$ direz-vous ? Et bien la démonstration de ce point se trouve dans le problème Même aire pour des parallélogrammes « complémentaires ».

Donc nous avons bien : $\bf [ABON]=[BIKJ]= [FEGH]=[CDE]$ , ce qu’il fallait démontrer.

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