Une équation polynomiale

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $P(X^2) = P(X)^2$

1. Si $P=c \in \mathbb{R}$
   $$c = c^2 \implies c(c - 1) = 0 \implies c \in \{0, 1\}$$
2. Si $P$ n’est pas constant, on considère $n=\deg(P)$
   On cherche le coefficient dominant de $P$:
   On note $a_n$ le coefficient dominant de $P(X)$. En comparant les coefficients dominants de deux côtés de $P(X^2) = P(X)^2$:
   $$a_n = a_n^{2} \implies a_n \in \{0, 1\}$$Comme $\deg(P)=n$, $a_{n} \neq 0$.
   Ainsi, $a_{n}=1$

Connaissant le coefficient dominant, on peut écrire, utilisant la division Euclidienne de $P(X)$ par $X^n$:
$$P(X) = X^n + R(X) \quad \text{où } \deg(R) = q < n$$En le substituant dans $P(X^2) = P(X)^2$:
$$X^{2n} + R(X^2) = \left(X^n + R(X)\right)^2 = X^{2n} + 2X^n R(X) + R(X)^2$$Soustraire $X^{2n}$ donne alors:
$$R(X^2) = 2X^n R(X) + R(X)^2$$Supposons maintenant que $R \neq 0$: Le côté gauche de l’équation à un degré de $\deg\left(R(X^2)\right) = 2q$. Sur le côté droit, $\deg\left(2X^n R(X)\right) = n + q$ et $\deg\left(R(X)^2\right) = 2q$. Comme $q < n$, on a $2q < n + q$, Donc le degré de $2X^n R(X) + R(X)^2$ est $n + q$. Il vient:
$$2q = n + q \implies q = n$$Ce qui contredit $q < n$. Ainsi, $R = 0$, ce qui implique $P(X) = X^n$.

Réciproquement, si $P=X^n$, $P(X^2)=X^{2n}=(X^{n})^{2}=(P(X))^{2}$

Conclusion: L’ensemble des solutions est:
$$\mathcal{S} = \{0\} \cup \{X^n \mid n \in \mathbb{N}\}$$

Analyse :
Soit $P \in \C[X]$ vérifiant $P(X^{2}) = P(X)^{2}$

On vérifie que le polynôme nul est solution puis on se place dans le cas où $P \ne 0$

Ils existent alors $n \in \N$ et $\tilde{P} \in \C[X]$ ne s’annulant pas en $0$ tels que $P = X^{n} \tilde{P}$
En injectant la nouvelle expression de $P$ dans l’équation de départ : $(X^{2})^{n} \tilde{P}(X^{2}) = (X^{n} \tilde{P}(X))^{2}$ qui se simplifie en $\tilde{P}(X^{2}) = \tilde{P}(X)^{2}$.
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En évaluant cette nouvelle égalité en $0$ : $\tilde{P}(0) = \tilde{P}(0)^{2}$ et en sachant que $\tilde{P}(0) \ne 0$ par hypothèse on a $\tilde{P}(0) = 1$.
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Supposons par l’absurde que $\tilde{P} - 1$ n’est pas le polynôme nul et que $\tilde{P}(0) = 1$, ils existent donc $p \in \N^{*}$ et $Q \in \C[X]$ ne s’annulant pas en $0$ tels que $\tilde{P}(X) - 1 = X^{p} Q(X)$
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En injectant la nouvelle expression de $\tilde{P}$ dans l’équation de $\tilde{P}$ , on a $(X^{2})^{p} Q(X^{2}) + 1 = (X^{p} Q(X) + 1)^{2}$
qui se simplifie en : $X^{2p} Q(X^2) = X^{2p}Q(X)^2 + 2X^{p}Q(X)$
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Le membre de droite contient un monome de degré $p$ qui est $2Q(0) X^{p}$ mais le membre de gauche a que des monomes de degrés au moins $2p$. Ce qui est absurde. Ainsi $\tilde P - 1 = 0$ autrement dit $\tilde P = 1$
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Ainsi $P = X^{n}$
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Synthèse :
On vérifie que le polynôme nul est bien solution de l’équation polynomiale $0 = 0^{2}$
Et que les monômes de degré $n \in \N$ sont aussi solutions, en effet $(X^{2})^{n} = (X^{n})^{2}$