Une histoire d’ombres - Episode 1

Pierre aime la marche. Il a pris l’habitude de marcher tous les après-midi dans la campagne arborée, et il fait toujours à peu près le même tour, équipé de son seul bâton qu’il a depuis des années (NB : le bâton a une longueur approximative de $1\,\mathrm{m}$) et d’un mètre ruban. Il a aussi l’habitude de se reposer à mi-parcours à l’ombre d’un arbre majestueux, en prenant soin de ficher son bâton à la verticale dans la terre meuble un peu plus loin.
Il a souvent constaté que l’ombre de son bâton était de longueur différente suivant l’heure à laquelle il se reposait ; il a même relevé des valeurs de longueur sur son carnet.

Il en est même venu à deviner l’heure qu’il était à partir de la longueur de l’ombre du bâton.
L’autre jour, quand il est arrivé, l’ombre du bâton faisait $2\,\mathrm{m}$.

1. Quelle heure pouvait-il bien être (approximativement) ?

Ce constat étant fait, il s’était habitué à partir sans montre.
Un jour, pendant sa pause, il s’est demandé si l’ombre de l’arbre majestueux pouvait aussi lui fournir l’heure de la même façon. Pour le vérifier, il a mesuré l’ombre de l’arbre aux mêmes heures.

2. Quelle heure était-il (approximativement) quand l’ombre de l’arbre faisait $5\,\mathrm{m}$ ?

Une nouvelle interrogation est venue le titiller : les longueurs des deux ombres semblent bien avoir un lien entre elles; elles entretiennent un rapport de grandeur. (pour approfondir la notion de rapport et de proportionnalité, voir le problème "une enquête mathématique sur la proportionnalité").

3. La longueur de l’ombre de l’arbre est toujours $n$ fois plus grande que celle du bâton (NB : pour le rapport de grandeur, nous raisonnerons toujours du plus grand au plus petit) ?
   Combien vaut le rapport de grandeur $n$ dans notre cas ?

Il est tellement surpris par cette constatation qu’il décide de refaire l’expérience des mesures d’ombres le lendemain avec un baton plus grand ramassé près du banc (sa longueur est de $1.5\,\mathrm{m}$), et note les résultats suivants.

4. Combien vaut le rappport de grandeur $n$ entre les ombres des deux bâtons ?

La constatation initiale est confirmée : toutes les ombres entretiennent entre elles un rapport de grandeur quelle que soit l’heure de la journée. Il rajoute une colonne à son tableau, et fait pour chaque couple de mesures la division : "longueur de l’ombre du premier objet (le plus grand) "/ "longueur de l’ombre du deuxième objet (le plus petit)".

5. Remplir ce tableau. Que constate-t-on ?
   Proposer une manière de calculer $n$, le rapport de grandeur des ombres des deux objets ?
   Comment peut-on calculer la taille du deuxième objet quand on connaît d’une part ce rapport de grandeur des ombres des deux objets, et d’autre part la taille du premier objet ?
   Quelle est la hauteur de l’arbre majestueux de notre histoire ?
   Quelle est l’heure particulière où les longueurs des ombres donnent directement la taille des objets ?

6. Il voit un if d’une très grande taille et se décide à le "mesurer" en utilisant cette fois l’arbre majesteux comme référence, car il connait maintenant la taille de ce dernier. L’arbre majestueux, à ce moment de la journée, a une ombre de $8\,\mathrm{m}$ ; l’if a une ombre de $12\,\mathrm{m}$. Quelle est la taille de l’if ?